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バニラオプションの高次グリークス(2)　残存時間に関する2階偏微分

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今回はオプションの高次グリークスで，Thetaを残存時間で偏微分したものの符号を反転させたもの，すなわち，残存時間に関する2階偏微分を表す高次グリークスを考えてみます。

この高次グリークスですが，Wikipedia

http://en.wikipedia.org/wiki/Greeks_(finance)

では，なぜか名前が見当たりませんし，式も提示されていません。

ちなみに，Thetaはオプション理論価格を残存時間で偏微分したものの符号を反転させたもです。

バニラオプションのThetaは，Black-Scholes式の設定のもとでは，
Callオプションの場合

-\frac{S \phi(d_{1}) \sigma}{2 \sqrt{ \tau }} -r K e^{-r \tau} \Phi(d_{2})

で与えられ，

Putオプションの場合

-\frac{S \phi(d_1) \sigma}{2 \sqrt{\tau}} +r K e^{-r \tau} \Phi(-d_{2})

で与えられることが知られています。ここに，Sは原資産価格，Kは権利行使価格，\tauは残存時間，\sigmaは原資産価格過程のボラティリティ，rは無リスク資産の金利，\phi(x)は標準正規分布の密度関数，\Phi(x)は標準正規分布の分布関数です。これらのThetaに関する式は，上にURLを示したWikipediaにも掲載されています。

今回求めようとしている高次グリークスは，これらのThetaを表す式を-\tauで偏微分すればよいわけです。

ですので，残存時間に関する2階偏微分を表す高次グリークスは，

Callオプションの場合は，

-\frac{S \phi(d_1) \sigma}{2 \sqrt{\tau}}\left[ d_1 \frac{\partial d_{1}(\tau)}{\partial \tau}+ \frac{1}{2 \tau} \right]- r K e^{-r \tau} \left[ r \Phi(d_2) - \phi(d_2)\frac{\partial d_{2}(\tau)}{\partial \tau}\right]

で与えられ，
Putオプションの場合は，

-\frac{S \phi(d_1) \sigma}{2 \sqrt{\tau}}\left[ d_1 \frac{\partial d_{1}(\tau)}{\partial \tau}+ \frac{1}{2 \tau} \right]+ r K e^{-r \tau} \left[ r \Phi(-d_2) + \phi(d_2)\frac{\partial d_{2}(\tau)}{\partial \tau}\right]

で与えられることになります。ここに，\phi(x)は標準正規分布の密度関数で，

\frac{\partial d_{1}(\tau)}{\partial \tau} = \frac{1}{2 \sigma \sqrt{\tau}}\left[ r + \frac{\sigma^{2}}{2} - \frac{1}{\tau} \log(S/K) \right] .

\frac{\partial d_{2}(\tau)}{\partial \tau} = \frac{1}{2 \sigma \sqrt{\tau}}\left[ r - \frac{\sigma^{2}}{2} - \frac{1}{\tau} \log(S/K) \right] .

です。