確率論の基礎(2)

前回の記事「確率論の基礎(1)」で,確率測度は,標本の部分集合から[0,1]への写像であって,標本から[0,1]への写像ではないことに注意して下さいということを言いました。
なぜ,標本から[0,1]への写像としないのでしょうか?
それは,以下の技術的な理由によります。

例えば,区間[0,1]からランダムに数を1つ選ぶとします。
このとき,どの数も同様に選ばれるので,確率はすべて同じにしたいです。
しかし,[0,1]には無限個(正確には,可算でもない)の数があるので,どんなに小さな正の確率を与えても,確率の和を1とすることができないことになります。
一方,その確率を0とすると,どこにも正の確率がないことになってしまいます。

この困難を解決するために,確率論では,確率を標本ではなく,標本の集合に対して定義します。

このことは,長さ,面積,体積などの大きさを測るときの基準に「点」に大きさを与えるのではなく,点の集合である直線,正方形,立方体に大きさを与え,それを基準に任意の図形の長さ,面積,体積を決めているのと同じことです。

次回は,\sigma-集合体と事象について解説します。

コメントは受け付けていません。