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確率論の基礎(5)

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前回の記事「確率論の基礎(4)」で，\sigma-集合体は「観測」にも密接に関連したものであると言いました。
ここまでは，\sigma-集合体が与えられていると考えてきましたが，例えば，数理ファイナンスへの応用の場合を考えると，投資家の投資戦略は「現時点までの観測」(から得られる情報)に基づいた戦略を取ることが出来るはずです。
そこで，投資家が現時点で持っている情報を表すために「観測」から作られる\sigma-集合体を考えることが必要になります。

このような状況を考える際に必要となるのが生成された\sigma-集合体です。

以下で生成された\sigma-集合体を定義します。

{\cal P}(\Omega)を\Omegaのすべての部分集合の集まりとし，{\cal C}を{\cal P}(\Omega)の部分集合族，すなわち，{\cal C} \subset {\cal P}(\Omega)である部分集合の集まりとします。

ここで，{\cal C}を含む\Omega上で定義されるすべての\sigma-集合体の集まりを考えます。
この集まりは，{\cal P}(\Omega)がその集まりに入っているので空ではありません。
また，これらのすべての\sigma-集合体の積は，やはり\sigma-集合体になり，それは{\cal C}を含む最小の\sigma-集合体になります。この\sigma-集合体のことを{\cal C}によって生成される\sigma-集合体と呼び，\sigma({\cal C})と表記します。

要は，部分集合の集まり{\cal C}は\sigma-集合体になっていないかもしれないので，\sigma-集合体になるように必要十分な部分集合を加えて\sigma-集合体にしたものが\sigma({\cal C})であると考えるとよいです。